Quel chiffre viens après 9 ?

La réponse c'est... 0 (zéro).
En effet le NOMBRE qui viens après 9 est 10,
mais le CHIFFRE qui vient après 9 est 0.

Il faut imaginer chaque chiffre comme une roue, quand on a avance le plus grand chiffre, alors il deviens égal au plus petit chiffre (et c'est toujours zéro) et son voisin de gauche augmente de 1.

Pré-requis

Cet article est la suite de l'article n°15 ❓🔢 Quelle est la différence entre un nombre et un chiffre ? (introduction aux bases arithmétiques), allez le voir si vous voulez.

La base c'est le nombre de chiffre utilisés

Tout est dans le titre. Nous utilisons généralement la base 10, c'est-à-dire les 10 chiffres arabes (1 à 9 sans oublier le zéro).
En informatique on utilise souvent l'hexadécimal (16 chiffres). Pour rappel, quand on atteint 9, on continue avec les lettres, par exemple A vaut 10.

La base c'est le nombre de chiffres sur une "roue", quand on augmente le plus grand, il deviens égal à zéro, et son voisin de gauche augmente de 1 :

    En gras j'écris le plus grand chiffre de chaque base
    Base 10 :  0123456789
    Base 2  :  01
    Base 16 :  0123456789abcdef
    Base 8  :  01234567

En réfléchissant avec des bases autre que 10 (ce qu'on utilise normalement), il faut arrêter de penser que 9 est le plus grand chiffre et que c'est lui fait tout basculer... Généralement, c'est le plus grand chiffre de la base qui fait tout basculer (et en base 10, c'est le chiffre 9).

---

Exemples de comptages

Légende

En gras j'écris le plus grand chiffre de chaque base
Je surligne en jaune quand le nombre suivant garde le même nombre de chiffres
Je surligne en bleu quand on augmente le voisin de gauche

Comptage en base 10 (ce qu'on fait tout le temps)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12...

Comptage en base 16 (hexadécimal)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1a 1b 1c...

Comptage en base 8 (octal)

0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 21 22 23 24 25 26 27 30 31 32...

Comptage en base 2 (binaire)

0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101...

---

L'écriture en wagons

Attention, c'est une appellation personnelle.

Voici je décide que au lieu d'écrire les chiffres collés les uns aux autres comme des sardines,
je vais mettre un séparateur ~ entre chaque chiffre (je pourrai prendre ce que je veux je choisis celui-ci voilà).

Ainsi j'écrirai 5483 de cette manière 5~4~8~3 comme si chaque chiffre était le wagon d'un train.

    Exemples :
    (base 10) 5~4~8~3
    (base 8 ) 1~0~7~7
    (base 2 ) 1~1~0~1~1~1~0
    (base 16) a~f~6~7~d~0~f
    (base 62) Z~z~5~9~c~v~H~7~0~S

Pour rappel, la base 62 = chiffres arabes + lettres latines MAJUSCULES + lettres latines minuscules

L'écriture en wagon-décimal

Cela consiste à écrire chaque chiffre avec sa valeur en décimal, par exemple je vous disais qu'après les chiffres arabes on prends les lettres, ainsi après le chiffre 9 il y a la lettre A qui vaut 10. Donc à la place de A j'écris 10

Ainsi j'écrirai a~f~6~7~d~0~f de cette manière 10~15~6~7~13~0~15.

Note : en mathématique, on peux écrire sous la forme [a;f;6;7;d;0;f]

On peux dire que par rapport à l'amalgame qu'il y a entre un "chiffre" et un "nombre", dans ce cas chaque chiffre est un nombre ! Et on le distingue grâce au séparateur ~

    Exemples :
    Écriture  normale     wagon                wagon-décimal
    (base 10) 5483        5~4~8~3              5~4~8~3
    (base 8 ) 1077        1~0~7~7              1~0~7~7
    (base 2 ) 1101110     1~1~0~1~1~1~0        1~1~0~1~1~1~0
    (base 16) af67d0f     a~f~6~7~d~0~f        10~15~6~7~13~0~15
    (base 62) Zz59cvH70S  Z~z~5~9~c~v~H~7~0~S  35~61~5~9~38~57~17~7~0~28

Les [nombreux] avantages de l'écriture en wagon décimal

• Les nombres sont plus faciles à comprendre
• On n'a pas besoin de réfléchir à des nouveaux signes quand on dépasse 9
  (il y a des amalgames avec majuscules avant ou après les minuscules...)
• On n'a pas besoin de réfléchir à des nouveaux signes quand on dépasse 62
  (quel choix faire avec les signes ASCII par exemple ?)
• On n'a pas besoin de réfléchir à des nouveaux signes quand on dépasse 93
  (pas de nouveaux signes à inventer)
• En codage, ça nous aidera énormément car preque toutes les méthodes fonctionnent avec du décimal !

Exemple de nombre en base 10 millions avec l'écriture wagon décimal :
1245315~54~3~464587~13215~7879452

Un nombre n'est qu'un nombre

Un nombre se désigne alors par deux choses

1. les chiffres qui le composent
2. la base dans laquelle il est écrit

Le nombre, si on lui change de base, va avoir ses chiffres qui changent, un peu comme le mot chien en anglais se dira dog et désignera exactement la même chose. Ainsi 48 en base 10 sera "traduit" en cent-dix mille 110 000 en base 2 :

    Exemple avec le même nombre :
    (base 10) 48
    (base 8 ) 60
    (base 2 ) 110000
    (base 16) 30
    (base 62) n

(on constate que plus la base est grande, moins le nombre est long)

Défi codage

Puisqu'en informatique, les nombres infinis n'existent pas, il serait intéressant de coder des conversions de base, avec des chaînes de caractère du coup.

Lien

Pour convertir un nombre dans une autre base

Merci d'avoir lu !
Si en général vous avez une question, une curiosité, n'hésitez pas me contacter.